Physique
Théorie, Expérience, Modèle

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Physique statistique et évolution des systèmes quantiques
Module de Master M1 (MP111)

Alice SINATRA (UPMC) et Laurent SANCHEZ-PALENCIA (Institut d'Optique)

Ce module de physique statistique vient compléter l'introduction faite en Licence L3 dans le module Introduction à la Physique statistique (PHYS357). Il apporte également des compléments de physique quantique. Les statistiques quantiques sont présentées, ainsi que les applications de la physique statistique à l'étude des milieux matériels.

A - Physique statistique quantique (8 séances)

1. Ensembles de la physique statistique.
   Opérateur densité : définition, propriétés et évolution temporelle.
   Lien avec la notion classique de densité dans l'éspace des phases : distribution de Wigner
   Entropie statistique et opérateur densité à l'équilibre.
   Ensembles microcanonique, canonique et grand canonique en physique quantique.
2. Statistiques quantiques pour un ensemble de particules indiscernables sans interaction.
   Utilité de l'ensemble grand canonique. Nombres d'occupation moyens pour bosons et fermions et fluctuations de ces nombres d'occupation.
   Limite classique des statistiques quantiques: distribution statistique de Boltzmann.
   Gaz de particules de Fermi et de Bose dans la limite de faible dégénérescence.
   Gaz de Fermi fortement dégénéré : développement à basse température des grandeurs thermodynamiques.
   Gaz de Bose fortement dégénéré : condensation de Bose-Einstein.
   Condensation dans un piège harmonique: matrice densité à un corps et densité spatiale du gaz dégénéré de bosons, approximation semiclassique et lien avec la condition de dégénérescence pour un gaz homogène, expériences sur les gaz ultrafroids et développements du domaine.
   Equivalence (ou non) des ensembles de la physique statistique. Fluctuations du nombre de particules en présence d'un condensat.
   Le gaz de photons. Radiation émise par un corps noir.
   Le gaz de phonons. Chaleur spécifique des solides cristallins : théorie de Einstein et de Debye.
3. Statistique de Bose-Einstein.
   Particules matérielles : condensation de Bose-Einstein.
   Systèmes à excitations bosoniques : les phonons.
   Les photons et la non-conservation du nombre de particules pour un potentiel chimique nul.

B - Compléments de mécanique quantique (4 séances)

1. Théorie des perturbations dépendant du temps.
   Transitions entre deux états discrets et comparaison avec le calcul exact donnant l'oscillations de Rabi.
   Exemples physiques de perturbation oscillante. Atome à deux niveaux. Absorption et émission induite.
   Etat couplé à un continuum d'états. Règle d'or de Fermi et son domaine de validité.
   Eléments de matrices et règles de sélection.
2. Théorème de Wigner-Eckart.
   Moment cinétique et rotations. Introduction aux opérateurs tensoriels irréductibles.
   Composition de deux moments cinétiques et coefficients de Clebsh-Gordan.
   Enoncé et démonstration du théorème de Wigner-Eckart.
   Application aux règles de sélection dans les transitions dipolaires électriques
3. Eléments de théorie de la diffusion
   Amplitude de diffusion et section efficace. Approximation de Born.
   Diffusion par un potentiel central, méthode des déphasages.

C - Théorie de champ moyen pour un gaz de Bose dégénéré (2 séances)

1. Collisions dans un gaz ultrafroid.
   Longueur de diffusion en onde “s”.
   Potentiels réels et potentiels modèles.
   Pseudo-potentiel régularisé. Développement de Born.
2. Approximation de Hartree-Fock.
   Equation de Hartree-Fock en absence et en présence de condensat
   Equation de Gross-Pitaevskii dépendant du temps.

Bibliographie du cours

1. Sur les statistiques quantiques :
   B. Diu, C. Guthmann, D. Lederer, B. Roulet, “Physique Statistique”, Hermann
   L. Landau, E. Lifchitz, “Physique Théorique - Tome 5 : Physique Statistique”, Mir
2. Sur l'opérateur densité, la distribution de Wigner et les perturbations dépendant du temps
   J.-L. Basdevant, J. Dalibard, “Mécanique quantique”, Editions de l'Ecole Polytechnique
3. Sur le théorème de Wigner-Eckart
   A. Messiah, “Mécanique quantique - Tome 2”, Dunod
4. Sur la théorie de la diffusion
   C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë, “Mécanique quantique - Tome 2”, Hermann
5. Sur les condensats de Bose-Einstein
   C. Cohen-Tannoudji, cours au Collège de France (années 1997-1998 et 1998-1999).
   Y. Castin, “Bose-Einstein condensation in atomic gases: simple theoretical results”, Cours à l'école des Houches 2000 (cond-mat/0105058v1)

Travaux dirigés

1. L'opérateur densité en mécanique statistique
2. La ditribution de Wigner
3. Gaz de Fermi à température nulle
4. Fluctuations du nombre de particules dans un gaz de fermions à basse température
5. Condensats de Bose-Einstein atomiques piégés. Rôle des interactions
6. Franges de Ramsey et horloges atomiques
7. Diffusion par un potentiel central et approximation de Born.
8. Modèle simple d'un niveau discret couplé à un continuum. Décroissance exponentielle de la population de du niveau discret.
9. Emission spontanée d'un photon par un atome excité.